3.5 Forma indeterminada ∞/∞

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

3.4 Forma indeterminada 0/0

En el area de la matemática se le denomina forma indeterminada a las expresiones algebráicas que poseen limites del tipo 0/0, ∞/∞, 1^∞, 0.∞, ∞^0, +∞-∞.

Existen dos formas de calcular este tipo de indeterminaciones la primera es mediante factorización y la segunda es la racionalización(esta ultima la usamos cuando en la expresión existen raices).

Factorización

  

 la factorización es la descomposición de una expresion matemática  en forma de multiplicación.

para el calculo de indeterminaciones mediante factorización se usan los siguientes metodos:

Factor común: basta con expresar dicho polinomio como el producto del factor común, por el resto de los terminos del polinomio encerrados entre parentesis.

ejemplo: b elevado a 2 + 2b = b(b+2)puesto que ambos terminos de estos tienen como factor comun "b".

Trinomio cuadrado perfecto: se identifica por tener tres terminos, de  los cuales dos tienen raices cuadradas exactas y el restante equivale al doble producto de las raices del primero por el segundo.

suma o diferencia de potencias a la "n":  la suma de dos números a la potencia se descompone en dos factores, siempre que "n" sea impar.

quedando de la siguente forma:
  
       para la suma: a^3 +b^3 = (a + b) (a^2 - ab  + b^2) 

      para la diferencia: a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab  + b^2)  


Diferencia de cuadrados: posee dos terminos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. 

Racionalización

 cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.

Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.

Se pueden dar varios casos:

*Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

*Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.

*Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n quecomplete una potencia de exponente n.

3.3 Cálculo de límites.

Aproximarse

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!

Usemos por ejemplo esta función:

(x²-1)/(x-1)

Y calculemos su valor para x=1:

(1²-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

¡Pero 0/0 es un problema! En realidad no podemos saber el valor de 0/0, así que tenemos que encontrar otra manera de hacerlo.

En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x	(x2-1)/(x-1)
0.5	1.50000
0.9	1.90000
0.99	1.99000
0.999	1.99900
0.9999	1.99990
0.99999	1.99999
...	...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x²-1)/(x-1) se acerca a 2

Ahora tenemos una situación interesante:

• Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)
• Pero vemos que va a ser 2

Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones

El límite de (x²-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

Y con símbolos se escribe así:

Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2"

3.2 Propiedades de los límites.

3.1.1 Sucesiones

3.1 Límite de una función.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función.
 El punto c es punto de acumulación del dominio de la función.¹ Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Visualización en un sistema de coordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite.

3. Límites

Los límites son la herramienta principal sobre la que construimos el cálculo. Muchas veces, una función puede no estar definida en un punto, pero podemos pensar a qué valor se aproxima la función mientras se acerca más y más a ese punto (esto es el límite).
 La función está definida en un punto, pero puede aproximarse a un límite diferente. Hay muchas, muchas veces donde el valor de la función es el mismo que el del límite en el punto. De cualquier manera, esto es una poderosa herramienta cuando comenzamos a pensar en la pendiente de una recta tangente a una curva.